四维彩超单看男女图解(四维彩超单看男女图解数字解)

今天给各位分享四维彩超单看男女图解的知识，其中也会进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

如果存在高维生物，高维生物最大的优势其实是视野，因为低维度生物无法把高维度可视化，而高维生物却能把低维看得清清楚楚。

但基于物理学上已有理论的推导，有一种十维生物会让你难以想象。

先了解下我们日常认知的高维与低维之间的关系：高维可以在低维投影，但低维生物无法从低维投影中，看清高维的运动轨迹。

以三维与二维之间的投影关系为例。

这是我们熟悉的圆点君。

原来圆点君只是一个三维小球的投影。

同样平面上看似来回直线运动，小球可以是这样的。

也可以是这样的。

以二维得视角来看，虽然能看见小球的投影，却无法判断它是怎么运动的。

正因为如此，在二维平面上发生的一些不可思议的运动，以二维视角来说，可能无法理解。

比如，它怎么就穿过去了？

实际上，它的三维真实模样可能是这样的。

所以说，如果存在高维生物，他们确实能做到许多我们无法理解的事情。

仅仅一个维度之差，都能玩出许多花样，更别说三维与十维的差距。但真的存在十维空间吗？为什么会有十维？

高维空间的基本概念来源于哪？十维生物存在吗？存在于哪？

高维空间的第一理论是卡鲁扎-克莱因（kaluza-klein）理论，1919年由德国西奥多·卡鲁扎(Theodor Kaluza)提出，1926年由瑞典物理学家奥斯卡·克莱因(Oskar Klein)完善。它是一个一统引力与电磁力的五维理论。

卡鲁扎-克莱因理论把引力解释为在第五维度里的振荡，但随着原子核内的强力与弱力被发现，这理论似乎就没落了。

但1984年米迦勒·格林（Michael Green）和马蒂亚斯·舒瓦茨（John Schwarz）将卡鲁扎-克莱因理论进一步优化，提出了新版本的高维理论：超弦理论。

该理论认为所有物质都由微小的振动弦组成，并精确地预测了世界的维度是九维，再加上时间这个维度，最后得出十维时空的结论。

而随着这门理论的发展，超弦理论演变成了五个不同的版本，且都能逻辑自洽。直到1995年，在第二次弦理论革命中，美国物理学家爱德华·威滕(Edward Witten)在超弦理论上又多加了一个维度，一统了五个版本，提出了M理论。

十维空间（十一维时空）正式被一些理论学家认可。

但十维时空也好，十维空间也好，并不是用来装我们臆想的生物，而是为了统一我们这个世界的四力（引力、电磁力、强力、弱力）。而且多余的6个空间维度都卷缩在普朗克尺度（1.6×10^-35米）下，又怎么能容得下生物？

而M理论中的最后一个维度，却不是一个微小的卷缩维度，而是一个非常大的维度。这意味着震动的“弦”被拉成了“膜”，小到可以描述基本粒子，大到可以包括所有空间，包括我们的宇宙，宇宙成了一个漂浮在十维空间的膜，也就是说还可能有其他宇宙的膜。

在M理论的体系下，如果十维空间存在生物，那它就是与所有宇宙同阶的存在，而且它并不在任何宇宙之中，它可能是一切宇宙的观察者，也可能是一切宇宙的主宰。如果它是大型的生物，那它甚至可以任意捏爆任何一个宇宙，如果它是小型的生物，它至少可以在所有的宇宙里穿行。而没有任何宇宙生命体能看清它的真实模样，这样的答案变态吗？

总结一下

无论是超弦理论，还是M理论都还无法验证，更像是一种物理学家们的畅享，但至少这种推导是有逻辑基础的，关于十维生物，我也仅是在目前有的理论上，给出的一种假设，纯属脑洞。

（图片来源于网络，侵删）

要想知道十维生物多牛逼，首先得知道每一个维度得具体意义，我这里，可以为大家具体解释到八维，这是一个很有趣的事情，如果假定每一个维度都有他特有的生物存在的话。

现在很多人基本上撑死认识到四维，然后就对更高的维度表示表示不懂，不懂就硬说不存在，反正也没有证据，这里纠结这个，如果对高维感兴趣，就听我说高维是个什么样子吧。

首先0维是奇点，一维是直线，二维是平面，三维是空间，四维是时间这个没异议。

这里提出成因，把一维当做一根坐标轴，0维就是轴上数不清的点。

二维呢，就是xy轴，其实有更多的直角轴我们没有画出来罢了，他要表达一个平面，我们想象成一张纸。

这张纸的卷曲产生三维，这里记住“卷曲”这个词。

四维在三维的基础上多一个时间轴。好我们开始说四维。

四维：

人作为3维生物，我们踩在时间的长河中，跟着时间流动，假设十分钟前，你饿了，十分钟后你把饭吃完，一个饿的你，一个饱的你，这两个你是踩在两个不同得时间节点上的，中间就被这个十分钟给连接起来了，这是四维带来的，三维生物的我们，没法看到这两个时间点的自己，但四维的生物就能做到，他饱的时候回头，能看到饿得时候那个时间点的自己，每一个时间点上的自己，对他这个四维生物都是可见的，这就是四维生物。

换句话说，你看到了你的未来。

五维：

那么五维呢，维度的变化，其实每三个维度就是一个周期，五维减去三个维度，就可以拿二维来类比，我们看到，二维坐标轴，是拿两个一维坐标轴交叉得到的。

那么，到五维这里，我们是否可以用时间轴来交叉呢，在五维这里，是可以的。

举个例子，你大学毕业的时候，你面临着两个选择，一个是工作，一个是考研，每一个选择，都代表着一条单向的时间线，此时做选择得你，就站在两个时间线交叉的交叉点上，如果你是四维生物你可以看到某一条时间线上不同的你，比如你选择考研后一年的你，五年的你，十年的你，都对作为四维生物的你可见，但如果你是五维生物，你可以同时看到这两个不同的选择，所对应的两个不同时间线上的你。

换句话说，你看到了你未来的不同分支。

六维：

六维减去三维，他的类比对象是三维空间维，空间维度是靠平面维度卷曲得到的，什么叫卷曲呢，比如一张纸上的ab两点，最近得有多近呢，在二维的答案是一条直线，但在三维的答案里可以是0，因为如果这张纸可以对折，两个点是可以以对折的方式重合的。

那么，我们用同样的方式对折五维空间，那么意味着，你所能看到的未来的不同分支，都在六维的各种对折下重合了。

换句话说，你可以随意的穿梭到你未来的不同分支上的每一个你，你可以去和选择考研后十年的你握个手，也可以去和选择工作后二十年的你打个招呼。

七维：

我们按维度周期来算，七维可以减去两个三维，那么他的类比对象，就是一维，一维是个点，这怎么类比呢。

当然可以。

我们之前说到，五维，是两条时间轴交叉的产物，他表示着你可以依据你的选择走向两个不同的新世界，但是当你踩在时间节点上时，你不会只有两种选择，你会有无数种选择呀。

比如，大学毕业的你，可以选择工作，选择考研，选择挂职读研，选择降级，乱七八糟有无限种可能，但是每一条时间线的长度是相同的，终点都是死亡。

你在纸上画一个点，点上伸出无数方向的线，这些线在一起，不就是一个大圆坨坨，远看，不就是一个点么。

这个点，就是七维空间。

换句话说，七维空间得你，在一个时间节点上，选择不同活法的可能，变成了无限大，你想怎么活，那就怎么活。

八维：

我们把七维坍缩成了一个点，那么八维和二维类比，这是要用无穷多的点，连成一条线。

我们如何找到另外的七维点呢，很容易，有很多呢。

刚刚的例子可以看到，你大学毕业的那个节点上，你又无限选择，可是你的人生，可不止一个大学毕业啊，你还有高中毕业，初中毕业，小学毕业，每一个毕业，是不是都对应着无限的可能呢，那么是不是就拥有了好多好多的七维“点”呢。

换句话说，七维的你，只能在某一个时间节点上去选择不同的活法，且只有一次机会，但八维的你，每时每刻都可以选择，是不是很厉害。

九维：

九维往上，则很难想象了，九维要和三维类比，换句话说，他是通过八维的卷曲而得到的，我已经没办法在通过举例来说明。

十维：

十维类比一维，在更大的视角上，他其实又变成一个更高级的点，或者可以认为就是宇宙大爆炸之前的奇点，原谅我没法举例了。

总而言之，如果你喜欢接受新的东西，那么以上对你而言是个很有趣的过程，如果你固守己见，也没有人批评你是错的，但是，你就不要来讨论如此高深的话题了，仅此而已，这不是你的世界。

其实维度并没有想象中的那么复杂，十维空间也没有什么厉害的地方，该空间中的生物，也并不变态。

物理学家可以“创造”出十个甚至更多的维度，只要你知道其中的原理，就会恍然大悟！

01

请注意维度的定义

维度的含义是什么呢？简单来说一下吧！

其实维度很简单，不过就是一组描述性的参数。

描述性的参数有几个，就是几维。

如果还是不明白，让我们举几个例子来说明！

02

举例子，先看一看大多数人都“理解”的情况：

对于空间的三个维度，我们是非常容易“理解”的。

「点」是0维的，一个点存在且是唯一的，既然唯一，理论上就不需要任何描述性的限制了。所以，点是0维的。

「线」是一维的，因为在一条线上只能“前后”移动；当我们选定一个点作为基准，那么这条线上所有的点，都可以用一个数来表示（当然，先要定义长度的标准或者单位）。

「面」是二维的，「体」是三维的，道理都一样。

上面之所以把理解二字打上引号，是因为还有一些要点，是很多人不清楚的。

重点强调：

我们上面所说的「线」、「面」、「体」都不一定是均匀的、平直的。

例如，不光直线是一维的，曲线也是一维的；如果你是一维的生物，哪怕你沿着螺旋线（在三维来看）在运动，你也不会有任何感觉，依然觉得自己是沿直线在走。

例如，不光平面是二维的，曲面——甚至闭合曲面，也是二维的；

体的不均匀就比较抽象了，我们可以用「密度不均匀」的物体替代方法，来近似想象一个有褶皱的、不平滑的空间。

特别介绍：时间

时间这个维度是比较特殊的（其实，每个维度都很特殊，只不过我们人类觉得时间可能更特殊一些）。

这个维度也是可以不均匀，有伸缩性的。

比如，在不同的引力场条件下，相对时间的演进速度是不同的。

在太阳表面生活一年（如果可以的话），相当于在地球表面生活1年+再多一点点。

《星际穿越》中，库柏和安妮降落到黑洞旁边的星球上，没过一会儿，飞船上留守的黑人科学家罗米，已经过了二十三年四个月零八天！当他们返回飞船时，罗米胡子都白了。

空间的三个维度，加上时间这一个维度，组成我们最熟悉的4个维度，我们把这种组合称为四维时空。

03

举例子，下面考虑一些多数人可能还不知道的情况：

为什么我说维度其实很简单呢？因为维度可以比较随意的选定。

如果我们想再加进来一个维度，该怎么办呢？

很简单，再选定一个物理量就好了！

比如，我们选定质量作为一个新的维度：

那么一个「点」——进化为「质点」（有质量的点）——就从0维变成了1维，因为不同质量的点是不同的，需要质量这个维度来区分。

那么一条「线」呢？——从1维就变成了2维了，因为，除了刚才所说的长度这个维度之外，每个点的「质量密度」是不同的，因此，需要两个维度才能表述这一个有质量的线——当然，同样是包含直线，曲线和各种线。

「面」和「体」是类似的，要加上「质量面密度」和「质量体密度」这一个新的维度了。

这里说明一下，之所以要在“密度”前面加上“质量”两个字，是因为还有其他的密度，比如时间颗粒密度，空间颗粒密度，引力场强度（引力场强密度），电磁场强密度（电磁场强密度）等等。

同样，我们可以再选定电荷量这个维度，那么以上每一种情景，就都又增加了一个维度。

04

那么，现在你是否有点明白，为什么物理学家可以提出“十个维度”了吧！

那么，还有很多维度是可以选择的；但是有些维度不够基本，没有普适性，所以一般不会被选择。

物理学家提出10个甚至更多个维度，可以简单理解为，就是选择了一些基本的物理参数，来对世界进行描述。

当然，在我们暂时无法理解的维度里（比如时间，比如引力），会有一些神秘而诡异的现象存在。

各个维度之间的类比，让我们的想象力找到了施展拳脚的空间。

比如：

由于空间的三个维度可以折叠，那么我们就会思考——是否时间这个维度也可以折叠呢？

空间可以压缩，那么时间是否可以压缩呢？

空间可以容纳物体，时间可以容纳什么呢？

......

爱因斯坦的相对论，部分解决了时间和空间的问题；但是，有更多的问题，可能还有待研究。

再比如，更进一步的：

比如引力这个维度。

除了刚才我们讲的“引力越强，时间越慢”之外，时间和引力这两个维度还要什么关系？

引力是否是超越时空的存在？

其他的场呢？（比如电磁场，在经典物理学中，和引力场一样遵循平方反比定律，那么它和时空的四个维度是什么关系呢?）

......

05

所以，十维生物有什么好可怕的？

毕竟，我们是更多维的存在！

在《星际穿越》中，隐隐含着一个特别的维度——惊人的维度——竟然是——爱！

你看人家说的多有道理吧！（最后面的组图，可以看看）

关于维度的讨论，我会专门再写一篇文章。

这里，你可能也有自己的想法，请在下面留言，我们探讨一下！

这是不是比十维生物更变态的存在？

十维空间难以想象，倒不如说一说四维生物有多么的变态。

首先，四维生物对于三维世界而言，他们具有无限的视角。

这个怎么理解呢？在三维世界中，我们所能看到的世界只是一个二维的面，一座山挡在我们面前，我们的视野就被完全给挡住了。但这对四维生物而言，他们的视线则不受影响。
每一个低维的空间，都是高一个维度的空间，在这一个低维空间里的投影。三维世界投射的影子变成了二维平面，四维空间投在三维空间里的样子，便是我们看到的世界。

《星际穿越》中对高维空间的展示

这就像我们在看二维世界一样，一个二维人，我们在他面前画一条线，那他对线那边情况就无从了解，而我们三维人却能轻松的知道线那边的情况。

所以，从某种意义上来说，四维人可以说无处不在，他在你的前面，同时也在你的前后左右上下，甚至之中，他能够看清三维世界的每一个细节，包括你身体外的皮肤，包括你的体内的器官。

四维空间里才能做出来的克莱因瓶。

因为具有这种无线视角，一眼看尽无尽细节的本领，所以，就像二维人会把我们当成上帝一样，四维人也是神一样的存在，想搞死二维人，只需要动动手指，就是毁灭性打击。

四维对于三维人而言已经是上帝一样的存在，那就更不用提十维生物了。

很可怜的是，对于四维，在丰富的人类想象力，也难以构思出思维世界的样子，恐怕只有亲自进入，方能识得庐山真面目了。

如果我们不能理解低维生物有多变态，也就无法搞清楚高维空间生物的变态之处，哪怕只是在理论上进行推演。

图示：简单地将三维生命映射到低维空间并不能真的帮助我们理解低维生命，甚至会发生严重误导，假如真的存在低维生命的话。

只有搞清楚了空间维度的真实含义，我们才有可能去脑洞高维空间的物体或者生命。

关于维度的第一原则是：空间由点组成。

无论空间有多少维，它都可以看成是由点组成的，如何确定空间中点的绝对位置，或者点的位置唯一性，则涉及到空间到底是几维的。

空间维度基础：从零维到二维

• 零维空间：所有空间的基础都是零维空间

什么是零维空间？

答案很简单：有且只有一个点存在的空间

这个空间的全部就是一个点，一个几何上的点，即没有大小没有厚度什么都没有的一个点。

是不是想起点什么？

这不就是宇宙大爆炸之前的那个点吗。是的，我们这个宇宙的三维空间，来自于宇宙大爆炸，而在宇宙创生之前，整个宇宙就是一个零维空间，它有且仅有一个点组成，这个点上蕴含着近乎无限的质量和能量，伴随着这个点的爆发，展开了我们这个宇宙的历史。如果世间曾经有个什么绝对的东西，那就只有这个创生整个宇宙的点，是绝对且唯一之物。当然，创生我们宇宙的点，是否真的没有大小没有体积，在物理学上还有争议。

图示：零维空间

整个空间有且仅有一个点，不要问点的周围是什么，它没有周围。

如果您无法体会零维空间的神奇，那您也将丧失体验高维空间的神秘性的能力。

图示：宇宙从零维空间的奇点爆炸而来，其间据称经历过超光速的膨胀阶段，即空间膨胀的速度超过光速。

显然，没有任何生命可以在奇点中生存。

但如果有生命存在于奇点处，那么它将是最牛的生命！

它可能就是神

• 一维空间：现在开始进入无限的世界和并拥有长度属性

零维空间中的那个点，周围没有空白，它就没有周围这个词可言。现在我们让这个绝对的点开始延伸成一个线段。既然没有周围，又如何延伸出一个线段呢？这就和宇宙大爆炸相似了，奇点扩张，从一个虚无之点，变成一条拥有长度的线段。这不亚于一次奇迹，每一次维度的扩张都是一次奇迹般的事件，都涉及到向一个本不存在的周围，进行扩张！

图示：一个线段。必须提醒您注意，在一维空间中，只有这条黑线才真实存在，没有黑线之外。

一维空间除了拥有长度属性之外，还开始拥有另一个所有高维空间都拥有的属性，那就是现在空间中开始有无限多个点！是的，哪怕一个长度有限的线段里，也不妨碍它在数学上拥有无限多个点。而要如何区分这些点呢，你需要至少一个参数，那就是这些点距离绝对零点的距离，或者它们距离任何一个指定点的距离，如原点的距离！正因为只需要一个参数就能指定一个点的位置，不会让其它点与它发生重叠，所以它才是一维空间。

至于一维空间中，是否真的存在无限多个物理上的点，这是现代理论物理学家争论的焦点问题。总的来说，许多理论物理学家认为，在现实的物理世界中，普朗克长度就是最小长度单位，大约为1.6*10^-35米。即一个线段不可能进行无限的细分，而每个点本身都是有长度限制的，不是一个本身长度为零的点。

想象一下，什么样的生物可以生活在一维空间中呢？

理论上来说，这种生物将只有长度，没有宽度，它们只能在线段上进行两个方向的运动。

那么这样的生物会发生相撞事件吗，它们会相互吞噬吗，还是仅仅简单的彼此神秘地相互穿透而过？不要说不可能，毕竟在真空中只能做直线运动的光子，如果将之想象成一种生命，那它就很像一维生命，而且光子和光子之间能够相互简单的滑过，不会发生光子相撞这样的事故，至少在普通环境中不会发生这样的事情。

图示：只有在极其特殊的环境中，才可能发生光子和光子碰撞这样的事情，正常情况下，光子就在一维空间中运动，并且它们彼此不会相撞。

如果真的存在一维生命，那大概就只能是光精灵了 ：）。

• 二维空间：拥有长度和宽度两个属性，并拥有无限多个一维空间

如果你搞明白了一维空间的核心思想，那么这个思想将帮助你理解从二维到N维空间，哪怕我们无法直观地想象高维空间，但我们却可以用一个简单的数学式子来表达它。

图示：二维空间又被称为平面。

我们通常用长和宽来表征一个平面，当我们指定平面上一个特定的点时，如果你只指出它距离原点的长度或者宽度，那么你指出的将不是一个点，而是拥有无限多个点的一条线。我们必须使用两个属性，才能确定一个点的具体位置，通常表示为两条垂线的交点。

图示：只用一个属性，你将在二维空间中得到一条线，而不是一个点。

二维平面生物，存在这样的生命吗？

在漫画中倒是存在这样的神奇生物，但它一定和我们这样的生命形式完全不一样。千万不要简单的将我们自己或者我们习惯的生命映射到二维平面中，这种做法很傻，因为一旦我们被二维化，我们就将无法生存，想想吧，你会被自己的消化道分成左右两半！

图示：经典老游戏欢乐吃豆人的设计者很聪明，他没有画一个完整的消化道，那样的话，这个二维扁平的吃豆人可就完蛋了。

• 对于我们最熟悉的三维，我就不多说了

简言之，确定三维空间中的一个点需要三个参数（X,Y,Z）,我们将这三个参数命名为长宽高。其实，我们虽然是三维生物，但我们最熟悉的其实是二维，大多数时候我们主要在一个简单的平面上运动，很少在高度这个方向上运动，只有当我们爬楼，登山、坐电梯和飞机时，我们才会真的意识到高度的存在，当然还有存在严重身高差的时候，才会有所体会。作为三维生物，我们很在意高度，而歧视长和宽。

图示：网传男女生最受欢迎的身高，仅供参考

• 那么十维空间意味着什么？

意味着在这个空间里确定一个点，需要整整十个参数，才能唯一确定它的绝对位置！

随着空间维度的增加，一个点的运动方向也随之增加：

一维空间只有前后运动

三维空间则有了前后、左右和上下运动

十维空间则多出了七个尚未命名的运动方向

假设某个宇宙真的展开了十个空间维度，并且还拥有了生命。

但就像我们一样，它们同样无法将自己映射到九维乃至更低维度空间之中。

就像我们这个三维空间中很可能并不存在低维生命，如果存在，它们将比我们要神奇！

那么拥有十维空间的宇宙的十维空间生命中也同样不太可能存在低维度生命，如果存在，那会比十维生命本身还要神奇。

图示：一些量子物理学家相信，我们这个宇宙存在额外的空间维度，但它们并没有被展开，它们存在但蜷缩在极小的空间尺度中，只对基本粒子有效。而如果它真的存在，那么这张图就是它的三维映射。一种奇异的流形。

图示：谷歌推出一个将高维空间映射到低维空间的AI，来帮助人们理解高维空间的奇妙之处

最后推荐一个探索四维生命的游戏：Miegakure

玩玩这个游戏，有助于理解高维空间的奇妙之处，多出来一个移动的方向，世界就将变得彻底不同了呢！说不定会改变您的三观。

就维度本身来说，个人感觉，时间不算一个维度。

可能是不对的，先说说我的想法。

一维普遍认为是线

二维是平面

三位是立体，长宽高。

四维是三维+时间。

但人是三维动物，三维+时间是一种被广泛接受的定义，但三维+另外一个线条或者三维看不到的面或者其他定义是四维呢。

举个例子，四维为什么不能是立方体里还有一个斜面，在三维内是看不到这个斜面，四维就是可以看到的，这个就像来形容蚂蚁，蚂蚁的视野是二维的，但它存在于三维世界，蚂蚁也可能无法感知三维的存在，但三维世界真是存在啊。

至于到十维超过了自己的想象，已经无法表示，除非某一天人类可以感知更高维度的存在了，可能才会知道那个维度是什么样子吧。。

个人为不认为时间是和长宽高一样存在的维度，时间就是时间。一个单独存在并和世界同时存在。

时空是由事件组成。

能够活动的维度就一定有时间，即当下的时间即（一个时间）它不属于时间轴，时间轴的意思就是由很多个正在发生的事组成（伏笔）

先说说0维到3维的理解吧，才能去理解4维空间。

0维是一个点。

无法移动不能做任何动作，它所能观测的世界就是它自己，一切黑暗。

1维是一条线，只能左右摆动，它可以控制0维。怎么控制呢？你可以去掉一个点，因为1维中的一条线是由众多点组成，组成一个活动空间。

2维是一个平面，它可以在这个平面自由移动，纸片人。2维可以控制1维，怎么说呢？比如你在一张4A纸（即二维平面）任何一个地方设一个点代表你，你可以在这张纸里面自由活动，然后你再在纸上任何一个地方画一条线，这条线就是1维的活动空间，你可以在它的空间里（1维空间）攻击它。

3维是一个立体，就是目前我们生活的地方，我们可以左右上下活动，它是由一层层2维平面堆积而成，看一下图示：

现在说4维空间。

我们来做个想象，一个画面，前面说到0维到3维，它们都是跳出空间所观测到的，而且低维度的人无法看到高维度的人，同时受高维度控制，还有就是高维度的空间都是由低维度所组成。

那么我们可以按照这样的逻辑去思考和想象一个4维空间是什么样的。

满足两个条件就可以形成4维空间：

第一：3维看不到4维，4维可以控制3维

第二：4维由很多3维所组成。

它即（4维空间）由众多3维空间所组成，那么每一个3维空间是否有一个时间点，那么这样就形成一个时间轴，即过去与未来，已满足第二个条件。

既然高维度空间可以控制和观测低纬度空间，而且又必须符合3维无法观测4维，那么4维的活动空间在哪里呢？

虽然已被证实存在4维空间，但我们人类无法通过肉眼去观测，只能通过逻辑推理去发现其结构。

据有关资料说人可以通过梦境穿过4维空间，但梦境并非4维空间，但梦境可以解释一点：那就是意识，4维的活动中心就是意识无所不在，在3维之外的地方无所不在，穿梭于过去于未来任意一个点。

也可以这样去理解它的存在，打个比方，你正在回忆过去，那么过去的一切经历就属于3维空间，你回忆的过程中可以随意切换任何你所经历的事情。

此时你的意识就处在4维空间里，不过它多了一个未来的事件存在你意识里，开头解释了时间轴的意思。

以下图片表达每一个3维空间里面的时间=时间轴

感谢你能看到这里，纯属个人理解不一定正确。

其实，我之前也想过这个问题，思维到底是什么样的存在呢，直到我朋友的一句话，让我瞬间有了画面感。

首先一维，就是一条线內，所有点的集合

，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。这不用多解释；

二维，是指仅由宽度→水平线和高度→垂直线（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只在平面延伸扩展。

三维是指在平面二维系中又加入了一个方向向量构成的空间系。

三维既是坐标轴的三个轴，即x轴、y轴、z轴，其中x表示左右空间，y表示前后空间，z表示上下空间（不可用平面直角坐标系去理解空间方向）。

那么，四维呢？当时我朋友正在看电视，随口说了句，“四维，就是有了进度条的三维，可以随意跳跃空间，和穿越过去和未来”。

关于，四维，我也曾在网上找过相关解释，但，我觉着，只有我朋友这个解释，最让我明白，虽然我也不知道是对的还是错的[大笑]

我试着举个例子，让大家能理解四维空间。

我们看蚂蚁是个“点”，他们做什么在我们眼里已经是尽收眼底。

假如将蚂蚁放入一个小迷宫里，蚂蚁看到的迷宫墙是墙，而我们看到的迷宫墙是“面”，蚂蚁是“点”。

在我们眼里蚂蚁和迷宫是个“平面”和“点”，相当于一维空间。

此时蚂蚁看到的迷宫只是眼前的墙，因为他们只能看到迷宫的一部分，所以可以理解为他们就是置身于三维空间，不可以全面的看到迷宫全貌和出口。

而处于上帝视角的我们一眼便看到整个迷宫及蚂蚁的动向，在蚂蚁眼里我们就是处在四维空间。

三维空间

三维空间也称作欧几里得空间，指的是由三个不同维度组成的空间，分别为长、宽、高。

三维空间的概念，个人认为，其实就是视觉上用于区分，以点在线条、平面和立面三种维度组合构成的区域。

该图片来源于网络，如有侵权，通知立究。

多维度空间是物理学及数学等相关学科遐想，而延伸的多维度空间的一种假设概念。蚂蚁的视觉及行为方式被很多坚持"多维度空间理念"的狂热者用来形容低维空间的状态及物种的生活方式。

我们生活的空间在三维空间的基础上多了一个属性，那就是时间，时间并没有纳入作为维度的一种概念，因为它存在一切你能看见或者能够涉足的各个角落，并且时间永远都朝着前方（时间一去永不付还的一种特性）行进。所以目前我们生活的空间被称作为“三维时空”。

太阳系八大行星体积大小比例对照图

维度空间的进阶理论与概念

认识一下维度的概念吧！把一个点作为维度中的活动物体，一维空间被概括为一条不重叠的线，无论点如何运行，始终都在这条线上，没有视觉感官没有方向；将这条线的某两个非邻接位的端点连接起来，便形成一个平面，即为二维空间，点在平面空间内可以做水平自由运动；可以把二维空间看作是一张纸，这个时候只需要将这张纸弯曲或者折叠，即塑造了新的维度——高度，这便是我们所处的三维空间。三维空间也可以称作立体空间，缤纷的色彩点缀着形态各异的物体，塑造了人类现居的家园。根据以上所讲的空间特性，推断总结得出了这样一个概念：多个低维度空间通过某种特定的方式组合起来，便形成了高纬度空间。上诉概念便是高维度空间理论支持者的重要论证之一。综上所述，四维空间则是由多个三维空间组合结构而成，也就是由多个已知宇宙构成的空间。理论上生活在四维空间的生物，可以自由的穿行于各个宇宙的任何位置，也可将空间内一切发生过的及正在发生的事物收入眼底。简单明了的理论，咋一看，确实有其中的道理。科学的发展、社会的进步、人类文明的升级，一切的根源都来自于最初的设想与脑洞，应验了行取于思的道理。空间事物究竟能够组成多少个维度呢？

该图来源于网络，如有侵权通知立究。

解答：［根据想象力的丰富程度，搭配着不同的构思与对宇宙万物的理解，在人脑中发生剧烈的信息裂变后，将原本相互排斥的各种信息源与讲解者身体各个部件的完美配合下，诞生了诸多模式的多维空间形态构成。呵呵…皮一下…］由于此问题缺少实际的论证性，所以一直以来都存在诸多争议。

小编之前看了一外国小哥哥讲解关于多维度空间理论及多维空间构成的图解视屏，视屏中提及讲解的维度空间你猜达到了多少维？听着小哥的讲解：小编除了张大嘴巴、瞪大眼睛，然后用大小拇指摆出666的姿势，尽一时词塞，找不到用来形容这位外国小哥哥的了得脑洞，对于空间维度的理解甚至达到了十几级维度空间认知，简直了……对于小编而言，超过四维以上的空间表示完全无法理解！但凡有可能，亦不否决。

有一部电影，讲述一个科学家驾驶着飞船掉进了黑洞，在黑洞里来到了另一个高维度空间，这个空间内有无数个由方柱隔离出来的窗口，科学家可以通过那些窗口看到地球上所有过去及正在发生的事情。影片中描述的四维空间与三维空间不能传递物质信息等，最大的特点就是，这位牛人科学家发现，四维空间的引力能够对三维空间的事物造成影响。不好意思了呀，我好像忘记了片名ヘ( ^o^)ノ＼(^_^ )。

为了加深读者对维度空间的理解与认识，用蚂蚁的身体特性与空间维度的概念做对比是不错的选择。蚂蚁就像是生活在二维空间的生命体，看不见东西，用触角识别气味来确定行走路径，且蚂蚁看不到人类，也不知道人类的存在，由于体积小，相对引力也较小，因此蚂蚁不论是垂直向上爬行或者是在地面爬行，蚂蚁自己感觉不到高度的概念，即便被抓玩时都不会完全也不知情。因为蚂蚁的这些特征与二维空间的概念几乎完全相似，所以在解释二维空间的时候，被更多的带入对比。

【科学谣言：把蚂蚁当做二维生物的这种说法是错误的。

根据蚂蚁身体的感官结构特征导致了蚂蚁的生活方式特殊性，科学家认为研究结论得出了蚂蚁的轻质量与地球相对引力的影响较少，以至于蚂蚁无法感知区分其究竟是在垂直爬行还是在平面爬行。把蚂蚁的视觉感官缺陷作为丢失的一个维度特性，从而生活环境就只有二维了！

三维空间的三维，分别指的是，长、宽、高三种不同属性组合构建。宇宙中一切物质在外观上必然具备这三种属性，微观世界的物质粒子也不例外。

结论：二维，其实是用来形容蚂蚁的生活方式。】

在浩瀚无垠的宇宙中，有很多新奇的现象等待着我们去发现，有无数未知谜团等待着我们去解答。爱科学、学科学，用科学改变世界，为科普而科普。

那么，用什么方式把多个低维度的空间组合成为高维度空间呢？它们又有哪些不同的特性呢？

以上内容属个人意见，可供参考！

欢迎各位在下方踊跃发言，探讨交流。你能理解到第几个维度的空间呢？以上诉理论为基础，用你的脑洞把多个低维度空间进行组合升级，看看究竟能够理解到第几个维度？

后续：

据说低维度空间的智慧生命无法察觉出高维度空间的存在，且低维度空间的所有智慧与认知，都无法想象、更加无法理解出相对高一级维度空间内的存在及运行方式。你觉得呢？

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(内容编辑：邹晶)

普遍人一说到设计就会认为是一门艺术，认为设计师就是艺术家。然而，身为设计师都很清楚自己的职责是什么？设计并非单纯的艺术，而是居于艺术与商业之间，运用艺术的技能去推进商业，要如何去拿捏这个平衡点，就得看看设计作品的落地性了。所谓的落地性，也并非设计师一人的设计逻辑思维因素，而是有多方面的因素组成。简单的说包括甲方乙方和作品之间的一切关系因素，那么设计师的神圣任务就是要做中间人，推使整个事件的顺利完成，达到双赢。

希望本次回答能帮到你，谢谢。

如对本话题感兴趣，欢迎关注我了解更多资讯。

Part 1. 我有个好朋友，叫框框

曾有人问我：为什么你们设计师都喜欢戴黑框？我说：因为平时画图第一步总是画个框框，手机是个框，电脑是个框，纸也是个框，所以眼里的世界也必须加个框~

其实当时，我就这么一说。现在想起来，大概冥冥之中注定要几年后我才能领会当时这话的深意。这叫自己挖的坑，自己跳。

至于这个框框，有很多种解释的方法，归纳成两个字就是：约束。

说约束的具体内容之前，先叨一下故事背景。许多人，包括我从小对设计的幻想，就是充满美感的艺术家做着天马行空的梦，然后用巧夺天工的手，做出一件件叹为观止的艺术品。直到我本科毕业之前，我都这么天真的以为（高中搞着物理竞赛，本科学着通信工程，从小我都教育自己，你是只理工女汉子，不要做少女的梦。然而事实证明我是一只文艺的女汉子，终究逃不过人文艺术的吸引）。好在研究生灵魂得到解放，奔到美帝学人机交互，把我一直远远憧憬的艺术、莫名累积的技术、和悠远深刻的人文兴趣（星座学和心理测验呵呵）完美的合在了一起。然而没有一点点防备，开篇老师就强调 “设计不是艺术”！所以，漂洋过海的来填补内心对艺术的渴望，还没开始就结束了吗？

接着的话我一辈子都记得：

设计是实现别人的需要，艺术是自我表达的需要。

请看我的超现实主义图解：

在后来的学习和工作中，这个 “别人” 的定义在不断地丰富着：设计的东西给谁用，谁拍脑子想主意，谁搬砖，谁拍板，谁买单，谁背黑锅（乱入，这个还是默认自己吧，在决策过程中会更有使命感）。。。是的，你的设计都是为了服务这些 “别人”。设计师要无我，超脱自己，忘记私人恩怨和个人喜好，做出客观公正的最大化满足所有 “别人” 的需求。并且时刻记着，这些需求随时会变，所以面对不断更迭的设计稿，不用玻璃心。设计只有更好，没有最好。

现在再来说约束。既然有这么多的 “别人” 这么多的需求，自然就形成了各种各样的约束。设计是在各种框框里找最优解的过程。用户的年龄、性别、习惯、兴趣、教育、文化、地域、信仰 bla bla bla 的分布，是个框框，决定了我们的第一个问题：who’s your user / audience（用户是谁）。他们面临的问题和需求是我们的核心框框 ：what problem we are solving（解决他们的什么问题/满足他们的什么需求，从而带来什么价值）。团队和资源的需求又画上了 timeline（项目时间表）和 staffing（项目成员）的框框。东西做多大，全套系统还是小功能翻新，改流程还是做视觉/文字游戏，是 scoping（确定项目范围）的框框。东西做不做得出来是 feasibility（可行性）的框框。有多少钱是budgeting（预算）的框框。公司的形象认知度再来个 branding（品牌）的框框。等等等等。而这些都是在一张大白纸上画框框，接着就在最后规划出来的小小空间里做设计。

啊摔！这么狭小的空间怎么驰骋我们天马行空的想象力？这个问题我有一个非（no）常（zuo）科（no）学（die）的解释：要把框框们想象成很高维的东西，这样把他们的重叠处展开成低维（UI算二-三维，UX算四维）的时候就会非常非常宏大！宇宙会闪烁呢！（此处水很深，不懂的请回家看《三体》）

就是这些条条框框构成了shaping the product（给产品定型）的基础。然而这一切都还没开始做设计呢，然而这一切又都是在做设计哦。

Part 2. 设计是门逻辑学

解释了这么久框框，终于可以点题啦。如此复杂的条件下，要判断情势，权衡利弊，揣测人心，给出多种解决办法，还要随机应变，口吐莲花。做设计很大部分的时间和脑力都是在许多噪音（哦不，PM和程序员你们有最美妙的声音）中迂回寻找一个答案，用思辨的逻辑，不是凭空想象或东搬西凑。然后在强大的逻辑支撑下，妙笔生花即可。

这就是为什么考察设计师的一个重要因素是他们是否能 justify design decisions（辩解设计决定）。当开会时有非设计人员问你“为什么不用。。。/你有没有考虑。。。”的时候，潜台词也许是“你智商在线吗”，这时候你就可以搬出理由123，试过的其他123，利弊123，然后对方大写的服；要是不服，那么请在理由充分的时候潇洒的甩出一句 thank you for your feedback, we can follow up on that（谢谢你的建议，我们可以私聊），潜台词是 you’ll never see me again（走好不见）。所以如何在被围攻的时候逆袭是设计师的必备生存技能。本例是夸张修辞的玩笑话，认真的孩子不要当真。

突然想起之前有人问我，面试遇到 “当你和工程师或者产品经理意见不合的时候，要怎么辩护自己的设计？” 是不是把上面的过程描述一遍就好了？我私以为这还不够，陈述了自己的理念就扬长而去，有没有种自我为中心的感觉？不要忘了，那些 “别人”！想的再周到的设计师依然只是个人的经历累积，而其他部门的人通常能带入全新的视角。所以除了解释“我”的设计思想，那 “你” 的考虑是什么呢？如果的你的考虑意义重大，那我虚心接受你的意见。这样既可以学习到新的知识，让未来思考问题的版图立体化一点，又可以照顾到同事的使命感，促进健康的团队气氛。别和他们翻船，要升华成合作伙伴的巨轮。

每次和优秀设计师的共事，真的分分钟提醒我自己：智商，智商，不要下线！他们逻辑清晰，条理清楚，思考全面，论证充分；对其他部门的运作有充分理解，有对用户的忠贞理想，也有对企业的利益责任；思维的整体性很强，有上帝视角的感觉（这是在说我老板星星眼）。他们提的问题总是直中要害，语言温婉得体又针针见血。他们总能一眼看穿问题的本质，而不是浅显的被视觉上的细枝末节迷惑。设计的不是产品，是体验，用户在他们脑海里规划的世界里一步步打怪升级，尽在掌握之中。他们很多的时间在思考问题和价值，跟人交谈深入了解需求，作信息架构，画 user story，铺一墙的便利贴。等一切明朗了画起界面流程什么的行云流水。当然也免不了反复完善，但他们深知这是过程，不是抓瞎。

所以下次见到一个玉树临风的设计师的时候，请把他想象成何以琛，不要跟他辩论，因为你总会输。就算辩论不输，颜值也输。

Part 3. 感受用户体验，不只是眼睛

说了这么多宽泛的设计，再来小谈一下我的领域，用户体验设计。

用户体验，听着多玄妙啊。这得是怎样的体验呀。歪果仁称之为 User Experience，简称 UX，业界有很多不同的定义。有的把 UX design 分为 visual design（视觉设计）和 interaction design（交互设计）；有的按 UI 和 UX 分，UI 是画界面，UX 是画界面之外的流程/功能规划；有的大 UX 概念除了视觉和交互，还包括了 motion design（动效设计）、user research （用户研究）、content strategy（文案）、production design（画 redlines 或者素材库）。一千个 UXer 简直有一千种解释 UX 的方式。所以当我们听到“哦，画界面的”，“你是设计师嘛，帮我画个 logo 呗” 的反应时，内心是万马奔腾的。将心比心，就跟 “你是程序员呀，帮我修个电脑好吗”，“你是摄影师嘛，给我美图秀秀一个啦”，“北邮毕业的，去哪家当邮递员啊”，“大厨呀，是不是碗洗的特别干净”之类相通。因为这样的对话不仅不理解我们的辛苦脑力活动，更不理解我们每小时的收费标准哈哈。

跟没接触过设计的或者刚接触设计的人，要纠正设计跟视觉的直接联系这个误区。我觉得，体验是各种感知在时间上的集合，看到的，说出的，摸到的，感觉到的，听到的，想到的。如下图：

以我们互联网行业的体验为例，眼睛看的是界面的样子，摸的是输入设备，嘴巴说的是用户对产品的评价（或者语音类产品作为输入），耳朵听的是别人的评价和推荐（或产品的声音输出），想的是对功能的理解和操作选择，心里感受的是用产品的愉悦，上瘾，困惑，或恼怒。不敢说用户体验设计师能操控所有的这些体验，只是说在做一个设计的时候最开始会考虑这些方面，作为另一种框框。

不仅体验有方方面面，用户也有多面性。以 Airbnb 为例，做 marketplace 就有市场的两面，房东和房客；Airbnb 滋生了第三方的产业链，于是他们也是我们的用户；客服人员也需要很复杂的一套体系；内部员工平时的日常也需要一些效率/人力/文化传承的工具。当在为某一类用户设计的时候，有时候也要抽离一下看看全局，或许会获得不一样的灵感。

一些对设计不了解的人包括每日相处的非设计师同事，都可能觉得我们总是在画UI，其实那是在激烈的框框大战和群雄舌战的空隙，全套界面出来之后还有反复用户测试和修改的过程。界面只是冰山一角，这一点希望能给需要给产品项目预算时间成本的人一些启发。

Part 4. 但人还是视觉动物

说了这么多，应该不会再问我是不是搞艺术的了吧。但有了金玉其中，也不好败絮其外吧？毕竟在互联网，眼睛看到的直接关系到对这个虚拟世界的感官。道理如同只有懒女人，没有丑女人。不求惊艳，至少要得体。有多少人是因为 App Store 的截屏美尝试新 App 的？虽然下了发现不太实用，不多久就删了。但要是看着太凄惨，直接不会下哦。就好像遇到长得美的产品谈个恋爱，实用又贴心就结婚吧！之前说的一切是为了让产品伴人长久，而视觉的包装是为了“让你在人群中多看我一眼”。

这里又插播一条面经，常听要面试的人问交互设计师需不需要视觉很好？官方说法可能是 “有一定的视觉品味”，不代表可以忽略视觉。因为视觉真的是无处不在：界面本身的美感，交互动画，产品的包装和推广，presentation 的风格和细节，面试者的品貌气质衣着，眼神的交流…… 别忘了这是看脸的世界。交互设计师的确不需要在视觉上有多大造诣，但不会做包子也得知道包子好不好吃吧？

再说，美感是个比较主观的东西。跟之前强调的逻辑性是对立面。一些人觉得好看的另一些人很可能会无感或者反感，反之亦然。设计师辨识时代的潮流，然后创造新的潮流。过多追求好看也可能在功能上碰壁。最后都是各种力量的权衡和折中。所谓美感度强的设计也就是获得更多人欣赏的几率高一点，没什么正确答案。大概这就是设计师永远不会失业的原因吧，需求在变审美也在不断刷新，所以永远可以有下一个版本。

因个人兴趣，我最近在做一个小小的一百天项目，画一百条我认为很美的裙子。满足一下少女心和对时装插画的兴趣，训练一下手感并熟悉不同画材，同时也从新的角度找点灵感。觉得在这个过程中，不说对衣服的品味有多少升级，至少对线条、层次、结构、和整体轮廓有了更高的敏感度。让我想起刚开始做设计，从纠结于字体、颜色、可交互元素的样式，到空间的层次和布局，到有意图的导航人眼看的位置，到留白的设计；从炫技到做减法；不断尝试、学习、吸收，逐渐形成自己的风格但又能适应不同场景的需要。这是一场永无止境的修行啊。

Part 5. 尾记

这是一篇非典型意识流的设计工作小感悟。自大学毕业就没有写过中文的文章了，平时在英文环境中汉语记忆被冲刷了不少。若语句不通或比喻不当，请多多包涵不吝指正。

最后特别感谢我们镇司女神安姐约稿！我都不知道自己对设计工作有这么多可扯的。想法不分享就遗忘了，写出来留个纪念也好。感谢阅读

感谢邀请，我曾经从事项目工作。不知道你说的设计是工程项目设计还是产品设计还是其他如艺术造型设计等。如果是工程项目设计，不同阶段设计的要求是不同的。先期在项目立项阶段，要求进行可行性研究，要进行项目论证，需要考虑可行性，并还要考虑合理性。后期项目立项后，要进行初步设计，更要侧重考虑项目设计的合理性。初步设计还要经过审查，然后到详细设计阶段，各个专业配合，也要由评审，直到最后的施工图设计阶段。可以说设计是一个递进过程，从一开始为了理想进行的规划设计，到最后落地的施工设计，但是可行性、可靠性、合理性始终是不曾偏离的，否则无法让项目落地。产品设计更要考虑可靠性。不知道能不能帮助你。

线性代数是数学中的一个非常重要科目, 需要研究线性空间, 线性变换和线性方程组. 至于应用就太广泛了, 图像处理, 压缩, 信号处理, 统计分析, 机器学习, 网页排序......

刚开始学习线性代数感觉抽象也很正常, 国内很多教材看着都头大. 这里 [遇见数学] 强烈推荐与B站视频《线性代数的本质》和书籍《程序员的数学: 线性代数》来学习. 此外[遇见数学]也编写了一系列动画和短文, 希望借助动画的方式, 加快学习线性代数的朋友能够更加深刻的理解某些较为抽象的概念. 先声明一下, 这个系列并不会讨论相关的计算(事实上复杂计算应该交给计算机), 不过适当练习还请下面一定动手来巩固知识点.

01 向量的概念

现实中工作中, 我们会把几个数值放在一起, 当做一个整体来分析, 这就有了向量(Vector) : 一种有序的数值列表.

为了把向量和点区分开, 惯用的方法是把这对数竖着写, 然后用括号括起来, 比如下面的示例为 2 维向量, 3 维向量和 4 维向量:

注: 或者用方括号来表示向量

决定一个向量是它的长度和方向, 我们可以通过坐标系来更好的理解它. 在二维坐标系下用箭头绘制出来, 且箭头的起点位于原点, 终点就是数值分量对应的点. 这样每一个向量就对应唯一对数, 而坐标系中的一对数也唯一对应一个向量.

只要向量的大小和方向相同, 即视为相等的向量, 如下图所示在二维平面(Two-dimensional)下, 随便移动一个向量, 所留下轨迹上都是相同的向量:

对于三维空间而言, 向量就会有x, y, z三个分量, 我们用 x,y,z 轴来表示出来, 这样每个向量也会与一个有序三元数组(x,y,z)对应:

▌向量的加法

向量加法就是把对应项相加:

从图形来看我们可以平移第二个向量, 使它的起点与第一个向量的重点重合, 然后画一个向量, 它从第一个向量的起点出发, 指向第二个向量的终点. 这个向量就是它们的和; 或者观察动画按照每个向量的分量进行运动最终效果是一样的:　

▌向量的数乘

另一个基础的向量运算就是一个数值(标量Scalar)乘以向量的每个分量, 就是将向量中的每个分量与标量相乘. 如选择数值 2, 把它与一个给定向量相乘, 意味着你把这个向量拉长为原向量的 2 倍:

观察下图如果标量为负, 则结果向量反向. 也就是数乘向量其实是对向量的拉伸, 压缩或反向的操作:

向量的加法和数乘非常重要, 将会贯穿线性代数, 我们第一次的内容就到此为止, 不过下面再补充几张动图来加深加法的理解:

▌向量加法三角形法则

其实与上面加法示例相同, 不过这里的向量起点并非原点:

▌平行四边形法则

▌向量的减法

向量的减法其实就是加法的一种特殊情况:

02「基底 / 线性组合 / 线性无关（相关）」

▌基底

在二维线性空间中, 只要用两个特殊的向量就可以来用定位(表示)出任意向量:

空间中的任何向量都是可以通过缩放这两个向量再相加表示出来. 现在想象, 譬如向量 (3,2) 就是沿着 i 的方向拉伸 3 倍, 再沿着 j 方向 拉伸 2 倍的向量相加结果.

这样特殊的向量称之为基(Basis, 或基底), 任何二维向量都可以由这两个向量的线性组合表示出来, 其中 a, b 为标量.

观察下面动图显示, 当 a, b 两个标量自由变化, 通过向量加法与向量数乘这两种基础运算, 就能获得所有二维中可能的向量:

基底的选取有各种各样的方式, 但不同的选取 可能会有 3 种情况, 观察下面动图中选取 i 和 j 作为基底出现:

• 也可以线性表示出空间中任意的二维向量；

• 如果两个向量恰好共线时候, 所产生的向量的终点被限制在一条过原点的直线上；

• 两个向量都是零向量, 其组合向量是零向量.

所有由向量 i 和 j 线性组合而获得所有可能的向量集合, 称之为两个向量张成的空间(Span).

用上面的图形来说明: 对大部分二维向量来说, 两个向量所张成的空间是所有二维向量的集合, 可以称之为基底; 但当共线时, 张成的空间就是一条直线, 不能构成二维线性空间的基底.

▌三维空间的基底

再来看看三维空间中的两个方向不同的向量(蓝色和橘黄色)所张成的空间就是两者所有的线性组合, 其实就张成了一个过原点的平面 .

如果在加上第三个向量, 那么线性组合为下面的形式:

对三个基底向量分别进行缩放, 然后把结果相加, 而这三个向量所有可能的线性组合构成了他们张成的空间:

▌线性相关

考虑 三维中第三个向量已经落在前两个向量所张成的平面之中, 那么就可以被这两个向量线性表示; 或者二维中两个向量共线, 那么可以由另一个线性表示出来. 现在观察二维两个向量共线的情况:

这种情况称之为线性相关(Linearly Dependent), 也就是说存在有向量对张成空间而言上多余的, 即便删除掉也不会对张成的空间有任何影响.

反之称为线性无关, 也就是没有任何向量可以由其他向量经过线性组合表示出来, 每个向量对所张成的空间都做出了"贡献".

03 「线性变换/矩阵及乘法」

线性变换是线性空间中的运动, 而矩阵就是用来描述这种变换的工具. 这样说还是没有直观印象, 所以还是直接看图解的动画吧.

矩阵不仅仅只是数值的表:

其实表示了在该矩阵的作用下, 线性空间是怎样的变化, 观察下图二维平面中水平和垂直方向的伸缩过程:

从上面动画中可以观察到:

• 垂直方向并没有发生任何变换(A 的第二列没有变化);

• 水平方向伸展了 2 倍;

• 浅红色方格在变换后面积变成了原来的 2 倍,这里其实就是行列式的意义 - 面积的扩张倍率 Det(A)=2

再看到更多矩阵变换之前, 先停下来看看下面静态图片的进一步解释:

变换前矩阵的基底向量 i (1,0) 移动到了 (2,0) 的位置, 而 j 基底向量 (0,1) 还是 (0,1) 没发生任何变换(移动) - 也就是基底的变化:

一旦明白了基底的变化, 那么整个线性变换也就清楚了 - 因为所有向量的变化都可以由改变后的基向量线性表出. 观察下面红色向量(1, 1.5) 和 绿色向量(-1, -3) 变换后落脚的位置:

向量 (1, 1.5) 在变换后的位置, 其实就是变换后基向量的线性表示, 也可以看到矩阵的乘法是如何计算的:

类似对于(-1, -3) 变换后的位置 , 也是一样的计算方法:

可以再次观察上面动画来体会, 验证算出的结果.

下面再看其他的变换矩阵

这里矩阵 A 的对角线中(0,2)含有一个 0 的情况, 观察下面动画 :

可以看到:

• 水平方向变为 0 倍;

• 垂直方向被拉伸为 2 倍;

• 面积的变化率为 0 倍, 也就是 Det(A) = 0;

基底的变化如下:

再看看下面这个矩阵 A 的变换:

可以看到:

• 整个空间向左倾斜转动;

• 面积放大为原来的 Det(A) = 3.5 倍;

上面在 3 个不同的矩阵作用下(相乘), 整个空间发生不同的变换, 但是原点没有改变, 且直线依然还是直线, 平行的依然保持平行, 这就是线性变换的本质.

类似, 在三维线性空间内, 矩阵也用于这样的线性变换, 需要注意的是这里行列式可以看成经过变换后体积变化的倍率. 观察下图, 经过下面矩阵 A 的变换中, 空间会经过镜像翻转变换(扁平化为线), 所以行列式的值会是负数.

04 「行列式」

这次我们主要做一个回顾, 再进一步将行列式的几何意义用动画展示说明. 我们说矩阵 A 可以视为一种线性变换, 所以

上面的式子意味着一个向量 x 在线性变换 A 后的位置将会和向量 v 重合. 现在看个例子, 整个空间在矩阵 A 的作用下是怎样的变化过程:

观看看到:

• 原来向量(1, 0.5)在经过变换后是(2, 1.5);

• 水平方向变成了原来的 2 倍;

• 纵向变成了原来的 3 倍;

• 原来的直线变换后依然还是直线, 平行的依然保持平行;

• 原点没有改变(如果没有原点, 则为仿射空间)

并且注意红色的方块面积扩大了 6 倍, 这样的面积(或体积)增大倍率就是行列式(Determinant)的几何意义, 记作: det(A) 或者 |A|

再看另一个作用矩阵线性变换的动画:

观察看到:

• 空间发生了倾斜, 但没有扭曲;

• 直线在变换后依然还是直线, 平行的依然保持平行;

• A 的第一列(1.5, -1)的落脚点为(1, 0) - 像, 第二列(-0.5, 2)的落脚点为(0, 1);

• 单位红色小方块扩大为 2.5 倍, 也就是 det(A) = 2.5

再来看这个线性变换的例子, 注意矩阵 A 中两个列向量是成比例的 - 线性相关:

观察得到:

• 空间被压缩成一条线;

• 向量(1, 0.5) 在整个变换过程中完全没有发生改变(这跟特征值与特征向量有关, 我们后文书再说);

• 面积增大倍率为 0, 也就是 det(A)=0;

这跟上一节中矩阵对角线含有 0 元素情况类似, 在这种情况下意味着不存在逆矩阵, 不过也是以后要介绍的内容了.

行列式的几何意义表示面积(体积)的增大倍率, 如在经过镜像翻转后就为负值, 上一节我们看到三维矩阵的情况, 现在看一看二维中经过镜像翻转后行列式的变化, 请注意最下变换过程中 det(A) 值从正数到负数的变化过程:

05 「矩阵的乘积/复合变换」

矩阵向量的乘积可以理解为将一个特定的线性变换作用在向量上, 本次我们先看几个特殊的矩阵下的变换以及矩阵矩阵的乘积.

▌ 零矩阵

即所有元素都是 0 的矩阵, 记为 O . 可以用下标来表示矩阵的大小:

零矩阵表示的变换是将空间压缩到原点, 可以观察在 2 阶零矩阵的作用下, 空间被压缩到原点的变化过程, 注意行列式的值最后为 0:

▌单位矩阵

是对角元素为 1, 其余都是 0 , 记为 I.

单位矩阵对空间什么都不改变, 保持基向量不变, 也被称为"恒等变换", 可以看下面对应的空间变化过程(尽管没有改变):

▌对角矩阵

除了对角元之外所有元素均为 0 的矩阵称之为对角矩阵.

对角矩阵表示的沿着坐标轴伸缩变换, 其中对角元素就是各轴伸缩的倍率, 并且下例矩阵 A 的对角元素中含有 2 个负数, 可以看做经过了 2 次镜像翻转, x,y 两个方向先是压缩, 然后再被拉伸, 面积扩大为原来的 6 倍, 这样行列式的值为 6.

上面都是进行一次变换的操作, 如果想要再进行一次(甚至更多)变换, 就要矩阵和矩阵相乘了. 譬如下面矩阵 A 相当于将空间旋转, 矩阵 B 是横向拉伸.

如果是 BA 两个矩阵相乘的运算, 就相当于先旋转再拉伸, 这样的复合变换运算顺序是从右往左进行, 可以观察下面的动画:

如果是 AB 两个矩阵相乘的运算, 就相当于先拉伸后旋转, 运算顺序是从右往左, 可以观察下面的动画:

从上面两个变换动画, 可以得出结论矩阵的乘积不满足交换律(可以想象满足结合律):

可以计算出 BA 和 AB 的值:

如何计算矩阵的乘积, 除了课本上给出的方法, 还可以按照列的线性表出来进行, 以 BA 为例:

另外, 如果两个矩阵都不是零矩阵, 但是矩阵的乘积可能会是零矩阵, 比如在下面两个矩阵:

空间中, A 做横向压缩, B 做垂直压缩, 经过 A 然后 B 的变换后, 也会映射到原点.

「矩阵的逆/逆变换」

这次我们来看如何把矩阵 A 经过变换后的向量再还原回去. 观察下面如何从变换后的向量(-1.5, 2) 还原为向量 (1, 0.5) 的过程:

注意观察要点:

• 变换后线性空间还是完整的二维空间;

• 变换后的行列式为不等于 0;

• 还原后仅有一个向量与之对应;

整个还原的变换实际上对应了另一个线性变换, 称为矩阵的逆(Inverse), 记为 A^(-1).

矩阵与它的逆矩阵相乘, 那就是先做了一次变换, 然后在还原回来, 这两个连续的变换作用就是矩阵的乘法, 相当于什么都没有改变, 这个没有进行任何改变的变换, 就是上次说提到的单位矩阵.

利用这个性质, 我们可以通过在 Ax=V 两边同乘 A 的逆矩阵来求出变换前的向量 x:

矩阵的逆是否一定存在?

那么问题在于逆矩阵是否一定能找得到呢? 想象当 det(A) = 0 时候, 也就是代表矩阵的变换将空间压缩到更低的维度上, 此时没有逆矩阵. 在二维平面中变换后空间被压缩到原点以及被压缩为一条直线都是不存在相应的逆矩阵. 或者说没有办法找到对应的映射可以将一个点或一条线还原为平面.

类似地, 对于三维空间中, 如果一个变换将空间压缩为一个平面, 一条直线或原点, 也就是都对应 det(A) = 0 (体积为0)时, 那么也没有逆变换. 请看下面矩阵将三维空间压缩为平面的情况:

▌对角矩阵的情况

对角矩阵对应的变换就是沿着坐标轴伸缩变换, 那么还原就非常简单了, 只需要将各坐标轴伸缩为倒数倍就好了.

但注意即使不存在逆变换, 但对应的 x 仍然可能存在. 当一个变换将空间压缩到一条直线, 但是向量 v 刚刚好就在这条直线上. 如下面矩阵 A 将空间压缩成一条直线, (红色)向量 v (1, 0.5) 因为恰好落在该条线上, 所以相应的 x 为 (0.25,-0.25) .

07【方程组的解/零空间/核】

线性代数在许多领域都被广泛应用的主要原因是能够求解给定的线性方程组(Linear System of Equations). 这一次来看如何用矩阵的语言来构建简单的数学模型来:

有若干只鸡和兔在同个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

题目非常简单, 由两个方程和两个未知数构成的方程组便可以求解出:

或以把方程写成矩阵向量相乘的形式 - 常系数矩阵 A , 未知量作为列向量 x, 两者的乘积得到常数列向量 v.

常系数矩阵可以理解为自变量 x 与 因变量中间存在的某种关联, 指定了这个矩阵就能确定了从向量到另外一个向量的映射. 这样用线性变换来理解的话, 求解 Ax = v 意味着我们要找到一个向量 x , 使得它在变换后与 v 完全重合:

这个方程组有解就是矩阵 A 所代表的变换没有将空间进行扁平化的压缩, 即 det(A)≠0. 否则方程组无解.

或者还可以从矩阵的行视图来理解这个线性方程组, 所要求的解就是求两条直线的交点:

对于两个方程组未知数两个的时候, 线性方程组的解有三种情况:

• 不存在;

• 唯一(两条直线相交);

• 有无穷多个;

现在从列视图和行视图两个角度来理解后面两种情况, 比如下面线性方程组无解:

从列视图可以看做向量 (2,1) 没有落在矩阵列所张成的空间内, 从下面动画中看到经过矩阵变换后, 空间最终被压缩为一条灰色直线, 而 v 在直线外, 所以不能被变换后的基向量线性表出:

或者可以从行视图来理解就是空间中两条直线为平行关系:

再来以下面线性方程组为例看无穷解的情况:

如果从行视图来看就是两条直线重合在一起:

观察下面的动图来从列视图的角度理解无穷解的情况:

观察要点:
这个矩阵的变换将线性空间压缩到一条灰色直线上;
图形中黑色直线上的所有向量在变换后都被压缩到原点, 成为零向量;

在经过线性变换后那些压缩到原点的向量集合, 称为零空间(Null space)或称为核(Kernel). 上面方程组的通解就是由特解和所有零空间解的线性组合, 下面动图尽管改变中 a 的值, 所有可能 a (-1, 1) 是零空间的解, 所以经过变换都会被压缩到原点; 而 (2, 0) 是特解, 经过变换后会落脚在 (2, 4) 处.

类似, 如果有三个方程式, 三个未知数, 那么每一个方程就代表了三维空间中的一个平面, 而方程组的解集就可能是空间中的一部分: 无解, 一个交点, 一条直线或一个平面;

在很多问题中都能将数学模型归结为 y = Ax . 比如信号处理, 统计分析, 机器学习等, 在工科中会经常用到. 在未来的图解系列中我们会遇到更多这些问题的示例.

08【方程组的解 II】

这次我们来看看三个方程式, 三个未知数的方程组解(即平面方程组)的情况. 其中每一个方程可以看做代表了三维空间中的一个平面, 而方程组的解集就可能是空间中的一部分: 无解, 一个交点, 一条直线或一个平面;

▌方程组唯一解的情况

从行视图来理解就是三个平面相交于一点:

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

观察要点:

• 经过矩阵变换后, 仍是三维空间;

• 解向量 x 在变换后, 与向量 v 重合;

• 向量 v 可以被矩阵 A 的列向量线性表出, 也就是落在列空间内;

▌方程组无解

其中三个平面交线相互平行, 不会有任何共同的交点, 所以无解:

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

观察要点:

• 经过矩阵变换后, 空间被压缩为平面;

• 由于向量 v 在平面之外, 所以无法被矩阵的列向量线性表出, 落在列空间之外;

▌方程组有无穷解 - 解集为一条直线

三个平面相交于一条直线:

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

观察要点:
空间经过变换被压缩为平面;
行列式为 0, 即逆矩阵不存在, 但解仍然存在, 因为 v 就在该平面上, 即在列空间内 ;
图形中红色细线上的所有向量在变换后都被压缩到原点, 成为零向量;

方程的通解为特解 + 零空间上解所有的线性组合:

▌方程组无穷解 - 解集为一个平面

三个平面实际就是为一个平面:

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

观察要点:

• 矩阵变换将空间压缩为一条直线;

• 行列式为 0 , 即逆矩阵不存在, 但解仍然存在, 因为 v 刚好就在这条直线上, 还在列空间内;

• 图形中浅蓝色平面上的所有向量在变换后都被压缩到原点, 成为零向量;

方程的通解为特解+零空间上解所有的线性组合:

这一次我们从行视图和列视图的几何角度理解线性方程组: 每个方程组都有一个线性变换与之联系; 当逆变换存在时, 就能用逆变换来求解方程组的解;逆变换不存在时, 行列式为 0, 就需要考察向量 v 是否落在列空间内了.

09「秩 / 列空间 / 零空间」

首先让我们来做一个简短的回顾:

矩阵乘法可以理解为一个特定的线性变换, 矩阵的列向量相当基向量 i: (1,0) 和 j: (0,1) 经过变换过后的到达向量.

(原谅我用鼠标进行的标注吧)

空间变换后的任何向量都可以由矩阵 A 的列向量线性表出, 而这些所有可能的结果, 也就是矩阵的列所张成的列空间(Column Space).

原先的空间经过这样2x2 矩阵 A 线性变换后的空间可能会三种情况:

• 还是平面 -仍是二维空间;

• 被压缩为一条线 - 变成了一维;

• 被压缩到原点 - 零维;

在数学专业的词汇来表示线性变换后空间的维数, 称之为矩阵的秩( Rank ) . 换句话说, 列空间就是矩阵的列所张成的空间. 所以矩阵秩的另一种定义可以说是列空间的维数. 经过变换后被压缩到原点的向量集合, 称为矩阵 A 的"零空间"(Null Space)或"核"(Kernel), 记为 Null(A) 或 Ker(A).

对照上面的三种情况, 来分别来观察.

▌第 1 种情况: 变换后仍是平面

观察要点:

• 如果经过矩阵 A 变换后的结果是一个平面, 则 rank( ) = 2, 空间没有被压缩扁平化, 因此可逆, 称之为非奇异矩阵;

• 这样秩与列数相等, 称之为满秩(Full Rank)矩阵.

• 对于满秩矩阵来说, 变换后唯一落在原点的就是零向量本身, 也就是 dim Ker( ) = 0;

▌第 2 中情况: 变换后被压缩为一条直线

• 当变换的结果是一条直线, 该矩阵是一维的, 称rank(A) = 1, 此时矩阵不可逆, 称为奇异矩阵;

• 这样非满秩矩阵, 会将空间压缩到更低的一维直线上, 也就是由嫩绿色直线上一系列的向量在变换后成为零向量;

• 零空间的维度为 1, dim Ker(A) = 1;

▌第 3 种情况: 变换压缩到原点

• 当变换的结果是压缩到原点, 则该矩阵是零维的, 称 rank(A) = 0;

• 而零空间维度为 2, dim Ker(A) = 2;

▌维数定理

假设 A 是 mxn 矩阵(非方阵的情况, 下次会介绍), 维数定理就是:

dim Ker(A) + rank(A) = n

相信如果理解透彻 2x2 矩阵的情况, 那更高维的矩阵也就清楚了.

10「矮矩阵 / 长矩阵」

矩阵乘法可以理解为一个特定的线性变换, 比如在 2x2 的可逆矩阵表示就是二维空间的(可逆)变换; 3x3 的可逆矩阵表示三维空间的变换.

这些都是 nxn 型的矩阵, 本节来看看更一般 mxn 矩阵, 也就是非方阵的情况 -- 分两大类：行数小于列数的"矮矩阵"和行数大于列数的"长矩阵".

▌矮矩阵

所谓"矮矩阵"就是 mxn 矩阵 A 的维数 m < n 的情况:

从方程组来说, 就是未知量为 n , 而方程个数 m .

以上面 2x3 矩阵而言, 就是未知量 x 从三维空间被压缩到二维平面的线性变换, 也就是说存在了压缩扁平化的操作, 观察下图:

观察要点:

• 三维空间被压缩为平面;

• 属于零空间的向量集合被压缩到零向量, 可以认为在变换过程中丢失了一部分信息;

• 三维空间的基底在变换后落在平面上, 并且坐标分别为(3,1),(1,5),(4,9);

这样矩阵压缩的行为, 当然可以从二维平面到一维直线, 如看下图的变换矩阵(1,2) 的作用下, 线性空间是怎样的变化过程:

观察要点:

• 属于零空间的向量集合被压缩到零向量;

• 二维空间的基底在变换后落在数轴上(直线)上, 并且变换后坐标分别为 1 和 2;

类似这样对空间压缩的操作经常被用于对数据的压缩, 比如原始数据维数太大, 就需要找到某种变换将原始高维属性空间降为更低维的空间, 未来再主成分分析 PCA 时候, 我们再来更详细的图形展示.

▌长矩阵

反过来考虑当矩阵 A 维数 m > n 的长矩阵:

这样未知数要比方程数少的情况, 对应的是变换会从低维到高维空间进行的. 比如下面矩阵就是从二维变换到三维空间的映射:

类似, 如果从一维到三维空间的变换矩阵也一定属于长矩阵形状的.

无论是矮矩阵, 还是长矩阵, 这样的非方阵和方阵的一个明显不同是, 对于方阵我们可以计算它的行列式, 如果不是方阵的话，就不行列式这个概念了.

11「特征值 / 特征向量」

“特征”一词译自德语的eigen, 意味着“自身的”，“有特征的” — 这强调了特征值对于定义特定的线性变换上是很重要的.

▌特征值 / 特征向量

我们来观察在矩阵 A 的作用下空间发生的线性变换, 注意下图中红色向量和绿色向量的变化:

观察要点:

• 空间发生了倾斜, 但(黑色虚线)直线还是直线, 依然保持平行(线性性质);

• 变换过程中发生了镜像翻转, 所以行列式为负值 -2;

• 基向量 i 变换到 (-2,-2) 处, 基向量 j 变换到 (2,3) 处;

• 红绿两个向量都随之发生了旋转;

是不是空间中所有的向量都会进行旋转呢? 还是这个矩阵变换为例, 再来观察下面这 3 个向量.

观察要点:

• 红绿 3 个向量的长度发生了伸缩变换, 但仍在原来的直线方向上, 并未发生旋转;

• 两条直线上的任何其他向量都只是被拉伸为原来的 2 倍和 -1 倍, 如红色两个向量都伸长为 2 倍;

• 除了这两条直线外, 空间中的其他向量在变换过程中都有旋转(见上图);

这里只有长度伸缩起了变化, 而方向仍在原直线上的向量就是矩阵 A 的特征向量(Eigenvectors. 伸缩的倍数, 就是特征值(Eigenvalues), 红色向量 (1,2) 伸长了 2 倍, 特征值为 2; 绿色向量 (2,1) 伸缩倍率为 -1, 相应特征值为 -1.

一般而言, 对于 nxn 方阵 A , 当存在向量 v 不是零向量, 且满足

等号左边是矩阵向量的乘积, 而右边是数乘向量.

▌特征值的计算

如何求解出特征值呢, 考虑将上面等式右边项移项:

我们知道只有当 (A-λ I) 这个矩阵所代表的变换是压缩扁平化操作的时候才会将向量 v 压缩至原点处, 而压缩扁平化的矩阵的行列式应该等于 0 , 这样只需要求解出相应的特征方程即可得到 λ 的结果.

一旦求出了矩阵的特征值, 之后要做的就是带入定义式子, 求出满足定义的特征向量了.

❥ 部分截图出自 3Blue1Brown 的《线性代数 的本质》视频

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